La première question à se poser, c'est si vous gardez votre prestataire actuel ou non. Il peut être bon de lancer un appel d'offres, pour comparer plusieurs solutions techniques ou plusieurs approches. Votre prestataire actuel part avec un avantage, il vous connait et connait votre site. Il part peut-être aussi avec un handicap : celui d'être en terrain conquis...
Faites également attention aux échéances. Les hébergements sont généralement renouvelables par années pleines. Changer en cours d'année risque de vous faire payer une partie d'hébergement en double... Vouloir changer trop près de l'échéance vous fait prendre le risque d'avoir un "trou" entre l'ancien et le nouveau site. Vous avez peut-être aussi un préavis sur votre contrat actuel. Ayez une vision claire des délais et gardez-vous de la marge.
Selon le type de refonte de site à effectuer, il se peut que la migration des données soit plus ou moins rapide. La migration d'un site vitrine sera généralement très rapide, alors que celle d'un site e-commerce avec beaucoup de produits, de clients et un trafic journalier important est une autre paires de manches. Une phase intermédiaire de tests est nécessaire dans ce cas, ce qui allonge les coûts et les délais.
Un dernier point est à considérer si votre site d'aujourd'hui est bien placé dans Google. Il serait dommage de perdre votre référencement par une refonte faite à l'emporte-pièce. Conserver au mieux le référencement actuel doit faire partie du cahier des charges et représente une contrainte pour le nouveau site, qui doit présenter un contenu proche de l'ancien, tout au moins au départ. Par contre, les moteurs de recherche ne tenant pas compte de l'esthétique et de l'agencement des pages, toute liberté est permise à ce sujet.